複数の端末で同じメールアドレスにアクセスが集中すると、同時接続の上限数を超えてしまうことで、パスワードを要求されたり、サーバにアクセスできなかったりすることでエラーが表示されることがあります。
“アカウントの詳細設定” ダイアログにて、”サーバへの最大同時接続数” を小さくすると解消することがあります。

Thunderbird でアカウント設定 > サーバ設定 > [詳細]ボタン